VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
【2-6-1】重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズム
【2-1-1】加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式で導出したニュートンの運動方程式から、【2-1-2】重力による運動のアルゴリズムの導出では、重力による運動のアルゴリズムを導出しました。
![時刻 t=tn[s] におけるニュートンの運動方程式](http://www.natural-science.or.jp/images/2010012.6.04.gif)
初速度の設定によって、様々な運動をすることをシミュレーションしました。
簡単にまとめると以下のとおりです。
■初速度なし：自由落下運動
■初速度 v_{z0}：鉛直投射運動
■初速度 v_{x0}：水平投射運動
■初速度 v_{z0}と v_{x0}：斜方投射運動
■初速度 v_{0}と投射角度θ：斜方投射運動２
これまでの運動はすべて、物体に作用している力が重力のみの場合でした。しかしながら、日常の体験では、投げられたボールは空気抵抗によって飛距離が伸びないことを知っています。 本節では、空気抵抗を加味した運動方程式を導出し、シミュレーションのためのアルゴリズムを構築します。
空気抵抗とは
本節では、無風の状態を考えます。 無風の中でじっとしている場合、我々は重力を除いて他に力を受けていません。 また、車から手を少し出した場合、手は車の進行方向とは逆に力を受けます。 さらに車の速度が上がるほど、手が受ける力は大きくなります。 運動しているボールの場合を考えた場合、、ボールにかかる空気抵抗力に次の関係があると仮定します。
上記の関係は空気抵抗力と速度とが比例関係にあることを表現しています。 マイナスをつけたのは、ボールが感じる空気抵抗力が、進んでいる方向とは逆の方向にかかっていることを表すためです。 「空気抵抗力」とは、ボールの形状や変形、回転、ボール周辺の空気の流れなどを全部加味した、非常に複雑な振る舞いによる力です。本節ではそのような複雑な議論には入らずに、ボールは速いほど空気抵抗力は大きくなるという日常の経験的な因果関係から、速度と空気抵抗力は比例関係であると「仮定」します。
また、力の単位である[N]は、【2-1-1】加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式で定義したとおり、
なので、比例定数の単位は[kg/s]と決まります。
物理量：空気抵抗力
この関係がx軸, y軸, z軸それぞれに対して成り立つとすると、 空気抵抗力 f[N] は次のようになります。
重力＋空気抵抗力がある場合の運動方程式
ボールに作用する力 F[N] は、-z 軸方向の重力と速度に比例する空気抵抗力の合力となります。 x,y,z 成分それぞれに作用する力は、
となります。式(2.6.6)を【2-1-1】加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式で導出したニュートンの運動方程式
に代入することで、空気抵抗がある場合のボールの運動方程式が得られます。
空気抵抗を考慮すると、これまでボールの運動に関与しなかった質量がでてきます。 上式の x 成分を見ると、ボールの加速度 a_x[m/s^2]は、質量 m[kg]に反比例することがわかります。つまり上式は、「空気抵抗力による加速度は重いほど小さく、軽いほど大きくなる」ことを意味しています。 これは、直感的に成り立っていることがわかります。
重力＋気抵抗力による運動のアルゴリズムの導出
式(2.6.8)として得られたニュートンの運動方程式を【２－１】重力による運動：自由落下運動と同様に、コンピュータでシミュレーションするためのアルゴリズム導出します。 式(2.6.8)を差分で表すと、
となります。上式は、t = t_n[s] のときの加速度 a_n[m/s^2] は、そのときの速度 v_n[m/s]で得られることを表しています。得られた加速度と等加速度直線運動のアルゴリズムを用いることで、速度 v[m/s] と位置 x[m]とを決定することができます。
初期位置（x_0, y_0, z_0）, 初速度(v_{x0}, v_{y0}, v_{z0}) を指定することで、様々な運動のシミュレーションを行うことができます。 次節は、重力＋空気抵抗力＋自由落下運動のシミュレーションを行います。
VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
第０章 仮想物理実験室の構築
- 【０－１】OpenGL と Visual C++ 2008 Express Edition の準備
- 【０－２】仮想物理実験室の構築 ・（0-2-1）ver1.0：基本形 ・（0-2-1）ver1.1：基本形＋ばねの描画 ・（0-2-2）ver1.2：基本形＋ばねの描画
- 【０－３】グラフ作成ソフト gnuplot のインストールと使い方
- 【Ａ－１】参考文献
・（A-1-1）OpenGL について
・（A-1-2）VisualC++ について
・（A-1-3）物理シミュレーション
・（A-1-4）数値計算
第１章 様々な運動
- 【１－１】等速度直線運動
- ・（1-1-1）物理量について
- ・（1-1-2）等速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-1-3）等速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-1-4）等速度直線運動のグラフ化
- ・（1-1-5）等差数列を用いた等速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-1-6）等速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－２】等加速度直線運動
- ・（1-2-1）等加速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-2-2）等加速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-2-3）等加速度直線運動のグラフ化
- ・（1-2-4）階差数列を用いた等加速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-2-5）等加速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- ・（1-2-6）差分と微分
- ・（1-2-7）和分と積分
- ・（1-2-8）微分・積分を利用した等加速度直線運動の解析解の導出
- 【１－３】等加加速度直線運動
- ・（1-3-1）等加加速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-3-2）等加加速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-3-3）等加加速度直線運動のグラフ化
- ・（1-3-4）等加加速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-3-5）等速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－４】等速度円運動
- ・（1-4-1）等速度円運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-4-2）等速度円運動のシミュレーション
- ・（1-4-3）等速度円運動のグラフ化
- ・（1-4-4）等速度円運動の解析解の導出
- ・（1-4-5）等速度円運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－５】等加速度円運動
- ・（1-5-1）等加速度円運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-5-2）等加速度円運動のシミュレーション
- ・（1-5-3）等加速度円運動のグラフ化
- ・（1-5-4）等加速度円運動の解析解の導出
- ・（1-5-5）等加速度円運動のシミュレーション結果と解析解との比較
第２章 ニュートンの運動方程式
- 【２－１】重力による運動：自由落下運動
- ・（2-1-1）加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式
- ・（2-1-2）重力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-1-3）重力による自由落下運動のシミュレーション
- ・（2-1-4）重力による自由落下運動のグラフ化
- ・（2-1-5）重力による自由落下運動の解析解の導出
- ・（2-1-6）重力による自由落下運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－２】重力による運動：鉛直投射運動
- ・（2-2-1）重力による鉛直投射運動のシミュレーション
- ・（2-2-2）重力による鉛直投射運動のグラフ化
- ・（2-2-3）重力による鉛直投射運動の解析解
- ・（2-2-4）重力による鉛直投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－３】重力による運動：水平投射運動
- ・（2-3-1）重力による水平投射運動のシミュレーション
- ・（2-3-2）重力による水平投射運動のグラフ化
- ・（2-3-3）重力による水平投射運動の解析解
- ・（2-3-4）重力による水平投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－４】重力による運動：斜方投射運動
- ・（2-4-1）重力による斜方投射運動のシミュレーション
- ・（2-4-2）重力による斜方投射運動のグラフ化
- ・（2-4-2）重力による斜方投射運動の解析解
- ・（2-4-3）重力による斜方投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－５】重力による運動：斜方投射運動２
- ・（2-5-1）重力による斜方投射運動における初速度の分解
- ・（2-5-2）重力による斜方投射運動２のシミュレーション
- ・（2-5-3）重力による斜方投射運動２のグラフ化
- ・（2-5-4）重力による斜方投射運動２の投射角度と飛距離の関係
- ・（2-5-5）重力による斜方投射運動２の解析解
- ・（2-5-6）重力による斜方投射運動２のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－６】重力＋空気抵抗力による運動：自由落下運動
- ・（2-6-1）重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズム
- ・（2-6-2）重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション
- ・（2-6-3）重力＋空気抵抗力による自由落下運動の解析解の導出
- ・（2-6-4）重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－７】重力＋空気抵抗力による運動：斜方投射運動
- ・（2-7-1）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション
- ・（2-7-2）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動の解析解の導出
- ・（2-7-3）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－８】ばね弾性力による運動：単振動運動（１次元）
- ・（2-8-1）ばね弾性力による運動の運動方程式（１次元）とアルゴリズム
- ・（2-8-2）ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション
- ・（2-8-3）ばね弾性力による単振動運動（１次元）の解析解の導出
- ・（2-8-4）ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－９】ばね弾性力による運動：単振動運動（２次元）
- ・（2-9-1）ばね弾性力による運動の運動方程式と（２次元）アルゴリズム
- ・（2-9-2）ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション
- ・（2-9-3）ばね弾性力による単振動運動（２次元）の解析解：微分・積分を利用した解析解の導出
- ・（2-9-4）ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－10】ばね弾性力＋重力がある場合の運動：単振動運動（３次元）
- ・（2-10-1）ばね弾性力＋重力による運動の運動方程式（３次元）とアルゴリズム
- ・（2-10-2）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション
- ・（2-10-3）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）の解析解の導出
- ・（2-10-4）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－11】ばね弾性力＋重力がある場合の運動：多重連結ばねの運動
- ・（2-11-1）ばね弾性力の一般化
- ・（2-11-2）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動の運動方程式
- ・（2-11-3）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-11-4）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動のシミュレーション
- 【２－12】ばね弾性力＋遠心力がある場合の運動：円運動
- ・（2-12-1）遠心力の導出
- ・（2-12-2）遠心力＋ばね弾性力による運動の運動方程式
- ・（2-12-3）遠心力＋ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-12-4）遠心力＋ばね弾性力による運動のシミュレーション
- 【２－13】張力＋重力がある場合の運動：単振子運動.html
- ・（2-13-1）張力の導出
- ・（2-13-2）張力＋重力による多重連結ばねの運動の運動方程式
- ・（2-13-3）張力による多重連結ばねの運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-13-4）張力による多重連結ばねの運動のシミュレーション
- 【２－14】万有引力による運動１：楕円運動
- ・（2-14-1）万有引力の導出
- ・（2-14-2）万有引力による運動の運動方程式
- ・（2-14-3）万有引力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-14-4）初速度と軌道の関係
- ・（2-14-5）万有引力による運動のシミュレーション
- 【２－15】万有引力による運動２：円運動
- ・（2-15-1）万有引力による運動が円運動になるための条件
- ・（2-15-2）初速度の与え方
- ・（2-15-3）万有引力による円運動のシミュレーション
- 【２－16】万有引力による運動３：３体運動
- ・（2-16-1）３体運動とは
- ・（2-16-2）万有引力による３体運動の運動方程式
- ・（2-16-3）万有引力による３体運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-16-3）万有引力による３体運動のシミュレーション
第３章 剛体の運動（エネルギー保存則と運動量保存則）
- 【３－１】床と球の衝突
- 【３－２】壁と球の衝突
- 【３－３】円柱と球の衝突（１次元）
- 【３－４】円柱と球の衝突（２次元 x-y平面）
- 【３－４－２】円柱と球の衝突（２次元 x-z平面）
- 【３－５】球と球の衝突（１次元）
- 【３－６】球と球の衝突（２次元）
- 【３－７】球と球の衝突（３次元）
付録
- 【Ａ－１】参考文献
・（A-1-1）OpenGL について
・（A-1-2）VisualC++ について
・（A-1-3）物理シミュレーション
・（A-1-4）数値計算
未分類
力学
- ・ ２体問題のシミュレーション（C言語＋ルンゲクッタ法）
- ・ ラグランジュ未定乗数法を用いた２重振子のシミュレーション
- ・ ラグランジュ未定乗数法を用いた球面振子のシミュレーション
- ・ ラグランジュ運動方程式２：極座標を用いた球面振子
- ・ ラグランジュ運動方程式１：極座標を用いた単振子
量子力学
- ・ １次元量子力学の調和振動子における単一エネルギーの時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期状態に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子におけるコヒーレント状態の空間分布
- ・ １次元量子力学の調和振動子におけるコヒーレント状態の時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における n励起状態の運動量表示
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期運動量分布に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期運動量分布＋任意の中心座標に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期空間分布＋任意の中心運動量に対する時間発展（最も簡単な方法）
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル２
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル３
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル
- ・ ２次元自由粒子
- ・ 無限に深い井戸型ポテンシャルの時間発展２
- ・ シュレディンガー方程式に従う粒子の時間発展２：無限に深い井戸型ポテンシャルの時間発展
- ・ シュレディンガー方程式に従う粒子の時間発展：自由粒子
