VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
【1-1-5】等差数列を用いた等速度直線運動の解析解

文責：遠藤理平（2010年1月18日）カテゴリ：コンピュータ・シミュレーション講座授業日誌(81)｜仮想物理実験室(325)

【1-1-3】等速度直線運動のシミュレーションでは等速度直線運動のシミュレーションを、【1-1-4】等速度直線運動のグラフ化では、グラフ化ソフト gnuplot を用いて等速度直線運動の t[s] 対 x[m], v[m/s] のプロットを行ないました。この節では、等速度直線運動のシミュレーションで用いたアルゴリズムから、物理量同士の関係式（物理公式）を導くことを行ないます。

等速直線運動では、３つの物理量時刻 t[s]、位置 x[m], 速度 v[m/s]の関係式は、【２日目】等速度直線運動で、次のように導きました。

(1.1-1)

この関係式は、時刻 t=t_{n-1}のときの位置 x_{n-1} と速度 v がわかれば、t=t_n[s]のときの位置 x_n が決まるという因果関係を表しています。このように n を用いて表現される関係式は、差分方程式と呼ばれます。差分方程式は、コンピュータ上でシミュレーションを行なうためのアルゴリズム構築上、必要不可欠な関係式です。しかしながら、任意の時刻 t=t_n のときの位置 x_n を知るためには、差分方程式を逐次計算する必要があるため、時刻 t[s]と位置 x[m]は因果関係で結ばれているとは言えません。本節では、式(3.2-1)からスタートして、時刻 t[s]と位置 x[m]の因果関係を導きます。

時刻 tn と t の関係

(1.1-2)

上式は、時刻 t=t_n と t_{n-1}の関係式を表しています。この関係式は任意の n で成り立ちます。高校で学習する数列の言葉を用いると、数列 t_n は、公差 Δt 、項数 n の等差数列となるので、数列 t_n の一般項は、

(1.1-2)

と求まります。つまり、任意の n に対する t_n の値が計算できました。物理の世界では、時刻の原点 t_0 はどこに持ってきてもよいので、一般的には t_0=0 とします。

(1.1-3)

n は整数（0,1,2,...）なので、t_n は Δt の整数倍の値をとります。つまり、t_n は飛び飛びの値、つまり離散量しかとることができません。しかしながら、Δt を小さくすればするほど飛びを小さくすることができ、Δt を極限まで小さく（無限小）すると、t_n は任意の時刻を表現することができるようになります。一方、t は任意の値をとることができる連続量です。つまり上式は、 Δt が無限小の条件で、t_n と t とをつなぐ離散量から連続量への変換を意味します。

時刻 t[s] と位置 x[m/s] の関係

(1.1-4)

上式は、位置 x_n と x_{n-1}の関係式を表しています。この関係式は任意の n で成り立ちます。先述のt_n と同様に数列の言葉を用いると、数列 x_n は、公差 vΔt 、項数 n の等差数列となるので、数列 t_n の一般項は、

(1.1-5)

と求まります。つまり、任意の n に対する x_n の値が計算できました。ここで、式(1.1-3)を用いて nΔt を消去すると、

(1.1-6)

が得られます。x(t) は、位置x は時刻 t の関数であることを明示的に表現するためのものです。この式には n も Δt もでてきていません。初期の位置 x_0 と速度 v[m/s]が与えられている場合の、任意の時刻 t[s] における位置 x[s]を与える式となっています。この式のように、求めたい物理量同士の関係（この場合は、位置 x[m]と時刻 t[s]）が直接得られた場合、それは解析解が得られたといいます。一方、コンピュータでアルゴリズムを用いて計算した結果は数値解と呼ばれ、シミュレーションはその数値解を視覚的にわかりやすくモニターに描画しているということです。

次節では等速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較を行ないます。