VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
【1-2-4】階差数列を用いた等加速度直線運動の解析解の導出
【1-2-2】等加速度直線運動のシミュレーションでは等加速度直線運動のシミュレーションを、【1-2-3】等加速度直線運動をグラフ化するでは、グラフ化ソフト gnuplot を用いて等加速度直線運動の t[s] 対 x[m], v[m/s], a[m/s^2] のプロットを行ないました。この節では、等加速度直線運動のシミュレーションで用いたアルゴリズムから、物理量同士の関係式（物理公式）を導くことを行ないます。
等速直線運動では、４つの物理量時刻 t[s]、位置 x[m], 速度 v[m/s], 加速度 a[m/s^2]の関係式は、【３日目】等加速度直線運動で、次のように導きました。
この関係式は、速度 v_{n-2} と加速度 a が決まれば、速度 v_{n-1} が得られ、その速度 v_{n-1}と位置 x_{n-1} が決まれば、x_n が得られるという因果関係を表しています。このように n を用いて表現される関係式は、差分方程式と呼ばれます。 差分方程式は、コンピュータ上でシミュレーションを行なうためのアルゴリズム構築上、必要不可欠な関係式です。しかしながら、任意の時刻 t=t_n のときの位置 x_n を知るためには、差分方程式を逐次計算する必要があるため、時刻 t[s]と位置 x[m]は因果関係で結ばれているとは言えません。 【2.2日目】等速度直線運動の解析解１：等差数列と同様に、式(3.2-1)からスタートして、時刻 t[s]と位置 x[m]の因果関係を導きます。
時刻 v_{n-1} の一般解
上式は、速度 v_{n-1} と v_{n-2}の関係式を表しています。この関係式は任意の n で成り立ちます。 高校で学習する数列の言葉を用いると、数列 v_{n-1} は、公差 aΔt 、項数 n-1 の等差数列 となるので、数列 v_{n-1} の一般項は、
と求まります。つまり、任意の n に対する v_{n-1} の値が計算できました。
時刻 t[s] と 位置 x[m/s] の関係
式(3.2-1)に、式(3.2-3)を代入して整理すると、
となります。上式は、位置 x_n と x_{n-1}の関係式を表しています。この関係式は任意の n で成り立ちます。これは、高校で学習する等差数列（第２項目）と階差数列（第３項目）が組み合わされています。具体的には、公差 v_0Δt-a(Δt)^2、項数 n の等差数列と公差 na(Δt)^2、項数 n-1 の階差数列なので、 x_n の一般項は次の過程で計算できる。
上式は、n について整理していません。 任意の時刻 t と位置 x との関係を導くために、 【2.2日目】等速度直線運動の解析解１：等差数列で導いた関係式、
を適応すると、式(3.2-5)は次のようになります。
Δt は、コンピュータシミュレーションする際に、任意に決めることができる量ですが、 現実の世界では、時間は離散的な値ではないので Δt=0 となります。
上式は、初期の位置(x_0)、初速度(v_0)、加速度 a がわかれば、任意の時刻 t のときの位置 x(t) が決まることを表しています。この式のように、求めたい物理量同士の関係（この場合は、位置 x[m]と時刻 t[s]）が直接得られた場合、それは解析解が得られたといいます。
一方、Δt≠0 でコンピュータでアルゴリズムを用いて計算した結果は数値解と呼ばれます。その際に、解析解と数値解との差は誤差と呼ばれ、この値が大きなほどシミュレーション結果と現実世界の運動との差があることを意味します。誤差を次の次の式で定義します。
誤差の定義式
この式は、式(3.2-1)の差分方程式の逐次計算で得られた位置x_n と、式(3.2-8)で導かれた解析解 x(t) との差をあらわしています。等加速度直線運動の誤差は、
と求まります。誤差は、加速度 a[m/s^2]、時刻 t[s]、差分Δt に比例することがわかります。 等加速度直線運動をシミュレーションする場合、加速度a と差分Δt は時間に依らず一定ですが、時刻 t は刻々と大きくなります。つまり、時刻 t[s]が過ぎれば過ぎるほど、誤差は比例して大きくなることをこの式は意味しています。
VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
第０章 仮想物理実験室の構築
- 【０－１】OpenGL と Visual C++ 2008 Express Edition の準備
- 【０－２】仮想物理実験室の構築 ・（0-2-1）ver1.0：基本形 ・（0-2-1）ver1.1：基本形＋ばねの描画 ・（0-2-2）ver1.2：基本形＋ばねの描画
- 【０－３】グラフ作成ソフト gnuplot のインストールと使い方
- 【Ａ－１】参考文献
・（A-1-1）OpenGL について
・（A-1-2）VisualC++ について
・（A-1-3）物理シミュレーション
・（A-1-4）数値計算
第１章 様々な運動
- 【１－１】等速度直線運動
- ・（1-1-1）物理量について
- ・（1-1-2）等速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-1-3）等速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-1-4）等速度直線運動のグラフ化
- ・（1-1-5）等差数列を用いた等速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-1-6）等速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－２】等加速度直線運動
- ・（1-2-1）等加速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-2-2）等加速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-2-3）等加速度直線運動のグラフ化
- ・（1-2-4）階差数列を用いた等加速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-2-5）等加速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- ・（1-2-6）差分と微分
- ・（1-2-7）和分と積分
- ・（1-2-8）微分・積分を利用した等加速度直線運動の解析解の導出
- 【１－３】等加加速度直線運動
- ・（1-3-1）等加加速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-3-2）等加加速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-3-3）等加加速度直線運動のグラフ化
- ・（1-3-4）等加加速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-3-5）等速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－４】等速度円運動
- ・（1-4-1）等速度円運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-4-2）等速度円運動のシミュレーション
- ・（1-4-3）等速度円運動のグラフ化
- ・（1-4-4）等速度円運動の解析解の導出
- ・（1-4-5）等速度円運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－５】等加速度円運動
- ・（1-5-1）等加速度円運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-5-2）等加速度円運動のシミュレーション
- ・（1-5-3）等加速度円運動のグラフ化
- ・（1-5-4）等加速度円運動の解析解の導出
- ・（1-5-5）等加速度円運動のシミュレーション結果と解析解との比較
第２章 ニュートンの運動方程式
- 【２－１】重力による運動：自由落下運動
- ・（2-1-1）加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式
- ・（2-1-2）重力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-1-3）重力による自由落下運動のシミュレーション
- ・（2-1-4）重力による自由落下運動のグラフ化
- ・（2-1-5）重力による自由落下運動の解析解の導出
- ・（2-1-6）重力による自由落下運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－２】重力による運動：鉛直投射運動
- ・（2-2-1）重力による鉛直投射運動のシミュレーション
- ・（2-2-2）重力による鉛直投射運動のグラフ化
- ・（2-2-3）重力による鉛直投射運動の解析解
- ・（2-2-4）重力による鉛直投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－３】重力による運動：水平投射運動
- ・（2-3-1）重力による水平投射運動のシミュレーション
- ・（2-3-2）重力による水平投射運動のグラフ化
- ・（2-3-3）重力による水平投射運動の解析解
- ・（2-3-4）重力による水平投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－４】重力による運動：斜方投射運動
- ・（2-4-1）重力による斜方投射運動のシミュレーション
- ・（2-4-2）重力による斜方投射運動のグラフ化
- ・（2-4-2）重力による斜方投射運動の解析解
- ・（2-4-3）重力による斜方投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－５】重力による運動：斜方投射運動２
- ・（2-5-1）重力による斜方投射運動における初速度の分解
- ・（2-5-2）重力による斜方投射運動２のシミュレーション
- ・（2-5-3）重力による斜方投射運動２のグラフ化
- ・（2-5-4）重力による斜方投射運動２の投射角度と飛距離の関係
- ・（2-5-5）重力による斜方投射運動２の解析解
- ・（2-5-6）重力による斜方投射運動２のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－６】重力＋空気抵抗力による運動：自由落下運動
- ・（2-6-1）重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズム
- ・（2-6-2）重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション
- ・（2-6-3）重力＋空気抵抗力による自由落下運動の解析解の導出
- ・（2-6-4）重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－７】重力＋空気抵抗力による運動：斜方投射運動
- ・（2-7-1）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション
- ・（2-7-2）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動の解析解の導出
- ・（2-7-3）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－８】ばね弾性力による運動：単振動運動（１次元）
- ・（2-8-1）ばね弾性力による運動の運動方程式（１次元）とアルゴリズム
- ・（2-8-2）ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション
- ・（2-8-3）ばね弾性力による単振動運動（１次元）の解析解の導出
- ・（2-8-4）ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－９】ばね弾性力による運動：単振動運動（２次元）
- ・（2-9-1）ばね弾性力による運動の運動方程式と（２次元）アルゴリズム
- ・（2-9-2）ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション
- ・（2-9-3）ばね弾性力による単振動運動（２次元）の解析解：微分・積分を利用した解析解の導出
- ・（2-9-4）ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－10】ばね弾性力＋重力がある場合の運動：単振動運動（３次元）
- ・（2-10-1）ばね弾性力＋重力による運動の運動方程式（３次元）とアルゴリズム
- ・（2-10-2）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション
- ・（2-10-3）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）の解析解の導出
- ・（2-10-4）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－11】ばね弾性力＋重力がある場合の運動：多重連結ばねの運動
- ・（2-11-1）ばね弾性力の一般化
- ・（2-11-2）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動の運動方程式
- ・（2-11-3）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-11-4）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動のシミュレーション
- 【２－12】ばね弾性力＋遠心力がある場合の運動：円運動
- ・（2-12-1）遠心力の導出
- ・（2-12-2）遠心力＋ばね弾性力による運動の運動方程式
- ・（2-12-3）遠心力＋ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-12-4）遠心力＋ばね弾性力による運動のシミュレーション
- 【２－13】張力＋重力がある場合の運動：単振子運動.html
- ・（2-13-1）張力の導出
- ・（2-13-2）張力＋重力による多重連結ばねの運動の運動方程式
- ・（2-13-3）張力による多重連結ばねの運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-13-4）張力による多重連結ばねの運動のシミュレーション
- 【２－14】万有引力による運動１：楕円運動
- ・（2-14-1）万有引力の導出
- ・（2-14-2）万有引力による運動の運動方程式
- ・（2-14-3）万有引力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-14-4）初速度と軌道の関係
- ・（2-14-5）万有引力による運動のシミュレーション
- 【２－15】万有引力による運動２：円運動
- ・（2-15-1）万有引力による運動が円運動になるための条件
- ・（2-15-2）初速度の与え方
- ・（2-15-3）万有引力による円運動のシミュレーション
- 【２－16】万有引力による運動３：３体運動
- ・（2-16-1）３体運動とは
- ・（2-16-2）万有引力による３体運動の運動方程式
- ・（2-16-3）万有引力による３体運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-16-3）万有引力による３体運動のシミュレーション
第３章 剛体の運動（エネルギー保存則と運動量保存則）
- 【３－１】床と球の衝突
- 【３－２】壁と球の衝突
- 【３－３】円柱と球の衝突（１次元）
- 【３－４】円柱と球の衝突（２次元 x-y平面）
- 【３－４－２】円柱と球の衝突（２次元 x-z平面）
- 【３－５】球と球の衝突（１次元）
- 【３－６】球と球の衝突（２次元）
- 【３－７】球と球の衝突（３次元）
付録
- 【Ａ－１】参考文献
・（A-1-1）OpenGL について
・（A-1-2）VisualC++ について
・（A-1-3）物理シミュレーション
・（A-1-4）数値計算
未分類
力学
- ・ ２体問題のシミュレーション（C言語＋ルンゲクッタ法）
- ・ ラグランジュ未定乗数法を用いた２重振子のシミュレーション
- ・ ラグランジュ未定乗数法を用いた球面振子のシミュレーション
- ・ ラグランジュ運動方程式２：極座標を用いた球面振子
- ・ ラグランジュ運動方程式１：極座標を用いた単振子
量子力学
- ・ １次元量子力学の調和振動子における単一エネルギーの時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期状態に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子におけるコヒーレント状態の空間分布
- ・ １次元量子力学の調和振動子におけるコヒーレント状態の時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における n励起状態の運動量表示
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期運動量分布に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期運動量分布＋任意の中心座標に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期空間分布＋任意の中心運動量に対する時間発展（最も簡単な方法）
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル２
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル３
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル
- ・ ２次元自由粒子
- ・ 無限に深い井戸型ポテンシャルの時間発展２
- ・ シュレディンガー方程式に従う粒子の時間発展２：無限に深い井戸型ポテンシャルの時間発展
- ・ シュレディンガー方程式に従う粒子の時間発展：自由粒子
