VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
【1-3-4】等加加速度直線運動の解析解の導出
【1-2-8】微分・積分を利用した等加速度直線運動の解析解の導出では、微分・積分を利用して等加速度直線運動の解析解を導出しました。 本節では、【１－３】等加加速度直線運動でシミュレーションを行った 等加加速度直線運動の解析解を導出します。
加速度と加加速度との関係
加速度 a[m/s^2]と加加速度 j[m/s^3]の関係は、 時刻 t_n のときの加速度 a_n は、 時刻 t_{n-1} のときの加速度 a_{n-1}、加加速度 j_{n-1}をもちいて、次のように表されます。
【１－３】等加加速度直線運動は、その名の通り等加加速度なので、加加速度 j[m/s^3] は一定としてシミュレーションしていますが、一般的に加速度と加加速度の関係は、差分と微分で導出した加速度と速度の関係と同様で、加速度 a[m/s^2] の時間 t[s] による微分が加加速度 j[m/s^3]となります。 式(4.2-1)を変形します。
両辺を Δt→0 の極限をとることで、加速度の微分を定義します。
加速度と加加速度との関係
上式は、加速度 a[m/s^2] を微分すると加加速度 j[m/s^3]となることを表しています。
等加加速度直線運動の解析解の導出
【1-2-8】微分・積分を利用した等加速度直線運動の解析解の導出にて、等加速度直線運動の解析解を導出したのと同様に、等加加速度直線運動の解析解を導出します。 等加加速度とは、加加速度 j[m/s^3] が時間に依らず一定なので、次のように書くことができます。
式(4.2-4)を時刻 t で積分することで、加速度を得ることができます。
最後の「C」は積分定数です。時刻 t=0[s] のときの加速度 a(0) を a_0 とすることで、積分定数 C を決めることができます。
式(4.2-7)を式(4.2-6) に代入することで、等加加速度直線運動の加速度の解析解が得られます。
等加加速度直線運動の加速度の解析解
加速度の解析解 a(t) が導出できたので、【3.5日目】等加速度直線運動の解析解４：微分・積分を利用した解析解の導出と同様に、時刻 t での積分を繰り返すことで、速度 v(t)、位置 x(t) を導出します。
速度と加速度との関係
式(4.2-9)を時刻 t で積分することで、速度を得ることができます。
最後の「C」は積分定数です。時刻 t=0[s] のときの速度 v(0) を v_0 とすることで、積分定数 C を決めることができます。
式(4.2-10)を式(4.2-11) に代入することで、等加加速度直線運動の速度の解析解が得られます。
等加加速度直線運動の速度の解析解
続けて、位置 x(t) を導出します。
位置と速度との関係
式(4.2-13)を時刻 t で積分することで、位置を得ることができます。
最後の「C」は積分定数です。時刻 t=0[s] のときの位置 x(0) を x_0 とすることで、積分定数 C を決めることができます。
式(4.2-14)を式(4.2-15) に代入することで、等加加速度直線運動の速度の解析解が得られます。
等加加速度直線運動の位置の解析解
微分と積分の関係
ここまで、加加速度 j(t) が与えられた場合の、加速度 a(t) と、 速度 v(t) と 位置 x(t) の解析解を時刻 t で積分することで導出しました。 微分と積分の関係性をまとめます。
VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
第０章 仮想物理実験室の構築
- 【０－１】OpenGL と Visual C++ 2008 Express Edition の準備
- 【０－２】仮想物理実験室の構築 ・（0-2-1）ver1.0：基本形 ・（0-2-1）ver1.1：基本形＋ばねの描画 ・（0-2-2）ver1.2：基本形＋ばねの描画
- 【０－３】グラフ作成ソフト gnuplot のインストールと使い方
- 【Ａ－１】参考文献
・（A-1-1）OpenGL について
・（A-1-2）VisualC++ について
・（A-1-3）物理シミュレーション
・（A-1-4）数値計算
第１章 様々な運動
- 【１－１】等速度直線運動
- ・（1-1-1）物理量について
- ・（1-1-2）等速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-1-3）等速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-1-4）等速度直線運動のグラフ化
- ・（1-1-5）等差数列を用いた等速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-1-6）等速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－２】等加速度直線運動
- ・（1-2-1）等加速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-2-2）等加速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-2-3）等加速度直線運動のグラフ化
- ・（1-2-4）階差数列を用いた等加速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-2-5）等加速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- ・（1-2-6）差分と微分
- ・（1-2-7）和分と積分
- ・（1-2-8）微分・積分を利用した等加速度直線運動の解析解の導出
- 【１－３】等加加速度直線運動
- ・（1-3-1）等加加速度直線運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-3-2）等加加速度直線運動のシミュレーション
- ・（1-3-3）等加加速度直線運動のグラフ化
- ・（1-3-4）等加加速度直線運動の解析解の導出
- ・（1-3-5）等速度直線運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－４】等速度円運動
- ・（1-4-1）等速度円運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-4-2）等速度円運動のシミュレーション
- ・（1-4-3）等速度円運動のグラフ化
- ・（1-4-4）等速度円運動の解析解の導出
- ・（1-4-5）等速度円運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【１－５】等加速度円運動
- ・（1-5-1）等加速度円運動のアルゴリズムの導出
- ・（1-5-2）等加速度円運動のシミュレーション
- ・（1-5-3）等加速度円運動のグラフ化
- ・（1-5-4）等加速度円運動の解析解の導出
- ・（1-5-5）等加速度円運動のシミュレーション結果と解析解との比較
第２章 ニュートンの運動方程式
- 【２－１】重力による運動：自由落下運動
- ・（2-1-1）加速度・力・質量の関係：ニュートンの運動方程式
- ・（2-1-2）重力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-1-3）重力による自由落下運動のシミュレーション
- ・（2-1-4）重力による自由落下運動のグラフ化
- ・（2-1-5）重力による自由落下運動の解析解の導出
- ・（2-1-6）重力による自由落下運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－２】重力による運動：鉛直投射運動
- ・（2-2-1）重力による鉛直投射運動のシミュレーション
- ・（2-2-2）重力による鉛直投射運動のグラフ化
- ・（2-2-3）重力による鉛直投射運動の解析解
- ・（2-2-4）重力による鉛直投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－３】重力による運動：水平投射運動
- ・（2-3-1）重力による水平投射運動のシミュレーション
- ・（2-3-2）重力による水平投射運動のグラフ化
- ・（2-3-3）重力による水平投射運動の解析解
- ・（2-3-4）重力による水平投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－４】重力による運動：斜方投射運動
- ・（2-4-1）重力による斜方投射運動のシミュレーション
- ・（2-4-2）重力による斜方投射運動のグラフ化
- ・（2-4-2）重力による斜方投射運動の解析解
- ・（2-4-3）重力による斜方投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－５】重力による運動：斜方投射運動２
- ・（2-5-1）重力による斜方投射運動における初速度の分解
- ・（2-5-2）重力による斜方投射運動２のシミュレーション
- ・（2-5-3）重力による斜方投射運動２のグラフ化
- ・（2-5-4）重力による斜方投射運動２の投射角度と飛距離の関係
- ・（2-5-5）重力による斜方投射運動２の解析解
- ・（2-5-6）重力による斜方投射運動２のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－６】重力＋空気抵抗力による運動：自由落下運動
- ・（2-6-1）重力＋空気抵抗力による運動の運動方程式とアルゴリズム
- ・（2-6-2）重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション
- ・（2-6-3）重力＋空気抵抗力による自由落下運動の解析解の導出
- ・（2-6-4）重力＋空気抵抗力による自由落下運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－７】重力＋空気抵抗力による運動：斜方投射運動
- ・（2-7-1）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション
- ・（2-7-2）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動の解析解の導出
- ・（2-7-3）重力＋空気抵抗力による斜方投射運動のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－８】ばね弾性力による運動：単振動運動（１次元）
- ・（2-8-1）ばね弾性力による運動の運動方程式（１次元）とアルゴリズム
- ・（2-8-2）ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション
- ・（2-8-3）ばね弾性力による単振動運動（１次元）の解析解の導出
- ・（2-8-4）ばね弾性力による単振動運動（１次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－９】ばね弾性力による運動：単振動運動（２次元）
- ・（2-9-1）ばね弾性力による運動の運動方程式と（２次元）アルゴリズム
- ・（2-9-2）ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション
- ・（2-9-3）ばね弾性力による単振動運動（２次元）の解析解：微分・積分を利用した解析解の導出
- ・（2-9-4）ばね弾性力による単振動運動（２次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－10】ばね弾性力＋重力がある場合の運動：単振動運動（３次元）
- ・（2-10-1）ばね弾性力＋重力による運動の運動方程式（３次元）とアルゴリズム
- ・（2-10-2）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション
- ・（2-10-3）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）の解析解の導出
- ・（2-10-4）ばね弾性力＋重力による単振動運動（３次元）のシミュレーション結果と解析解との比較
- 【２－11】ばね弾性力＋重力がある場合の運動：多重連結ばねの運動
- ・（2-11-1）ばね弾性力の一般化
- ・（2-11-2）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動の運動方程式
- ・（2-11-3）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-11-4）ばね弾性力＋重力による多重連結ばねの運動のシミュレーション
- 【２－12】ばね弾性力＋遠心力がある場合の運動：円運動
- ・（2-12-1）遠心力の導出
- ・（2-12-2）遠心力＋ばね弾性力による運動の運動方程式
- ・（2-12-3）遠心力＋ばね弾性力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-12-4）遠心力＋ばね弾性力による運動のシミュレーション
- 【２－13】張力＋重力がある場合の運動：単振子運動.html
- ・（2-13-1）張力の導出
- ・（2-13-2）張力＋重力による多重連結ばねの運動の運動方程式
- ・（2-13-3）張力による多重連結ばねの運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-13-4）張力による多重連結ばねの運動のシミュレーション
- 【２－14】万有引力による運動１：楕円運動
- ・（2-14-1）万有引力の導出
- ・（2-14-2）万有引力による運動の運動方程式
- ・（2-14-3）万有引力による運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-14-4）初速度と軌道の関係
- ・（2-14-5）万有引力による運動のシミュレーション
- 【２－15】万有引力による運動２：円運動
- ・（2-15-1）万有引力による運動が円運動になるための条件
- ・（2-15-2）初速度の与え方
- ・（2-15-3）万有引力による円運動のシミュレーション
- 【２－16】万有引力による運動３：３体運動
- ・（2-16-1）３体運動とは
- ・（2-16-2）万有引力による３体運動の運動方程式
- ・（2-16-3）万有引力による３体運動のアルゴリズムの導出
- ・（2-16-3）万有引力による３体運動のシミュレーション
第３章 剛体の運動（エネルギー保存則と運動量保存則）
- 【３－１】床と球の衝突
- 【３－２】壁と球の衝突
- 【３－３】円柱と球の衝突（１次元）
- 【３－４】円柱と球の衝突（２次元 x-y平面）
- 【３－４－２】円柱と球の衝突（２次元 x-z平面）
- 【３－５】球と球の衝突（１次元）
- 【３－６】球と球の衝突（２次元）
- 【３－７】球と球の衝突（３次元）
付録
- 【Ａ－１】参考文献
・（A-1-1）OpenGL について
・（A-1-2）VisualC++ について
・（A-1-3）物理シミュレーション
・（A-1-4）数値計算
未分類
力学
- ・ ２体問題のシミュレーション（C言語＋ルンゲクッタ法）
- ・ ラグランジュ未定乗数法を用いた２重振子のシミュレーション
- ・ ラグランジュ未定乗数法を用いた球面振子のシミュレーション
- ・ ラグランジュ運動方程式２：極座標を用いた球面振子
- ・ ラグランジュ運動方程式１：極座標を用いた単振子
量子力学
- ・ １次元量子力学の調和振動子における単一エネルギーの時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期状態に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子におけるコヒーレント状態の空間分布
- ・ １次元量子力学の調和振動子におけるコヒーレント状態の時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における n励起状態の運動量表示
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期運動量分布に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期運動量分布＋任意の中心座標に対する時間発展
- ・ １次元量子力学の調和振動子における任意の初期空間分布＋任意の中心運動量に対する時間発展（最も簡単な方法）
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル２
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル３
- ・ 無限に深い２次元井戸型ポテンシャル
- ・ ２次元自由粒子
- ・ 無限に深い井戸型ポテンシャルの時間発展２
- ・ シュレディンガー方程式に従う粒子の時間発展２：無限に深い井戸型ポテンシャルの時間発展
- ・ シュレディンガー方程式に従う粒子の時間発展：自由粒子
