VisualC++ と OpenGL を利用した仮想物理実験室
【1-3-1】等加加速度直線運動のアルゴリズムの導出

文責：遠藤理平（2010年8月28日）カテゴリ：仮想物理実験室(325)

「【1-2-1】等加速度直線運動のアルゴリズムの導出」では、物理量「時刻 t[s]」の変化分と「位置 v[m/s]」の変化分の比から、新しい物理量「加速度a[m/s^2]」を定義しました。次は、「時刻 t[s]」と「速度a[m/s^2]」を組み合わせて得られる物理量を定義します。

時刻 t_0 で速度 v_0 の球が、時刻 t_1 に速度 v_1 で運動している場合を想定します（下図）。

もし球が、t_0 から t_1 まで、等加加速度（同じ加加速度）で運動しているとすると、次の関係式が成り立ちます。

左辺の「加加速度」は、「時刻」と「加速度」の２つの物理量を組み合わせて定義される新しい物理量です。

物理量４「加加速度」（1次元）

上記では等加加速度と仮定しています。等加加速度でない場合は、平均の加加速度という物理量になります。次の図は、「時刻 t[s]」と「加速度 a[m/s^2]」の関係をt-aグラフ（横軸t、縦軸v）で表したものです。

t-aグラフで表すと「加加速度」は傾きで表されます。つまり加加速度 j[m/s^3] は次の関係式で表すことができます。

この関係式は、「時刻 t_0 のときの加速度 a_0 と時刻 t_1 のときの加速度 a_1 が与えられれば、加加速度 j[m/s^3] が得られる」ことを意味しています。Δt は、時刻 t_0 と t_1 との時間間隔（時間の変化分）を表しています。また、関係式を移項することで、次の関係式が得られます。

この関係式は「時刻 t_0 のときの加速度 a_0 と速度 a が与えられていれば、Δt 秒後の位置 v_1 が得られる」を意味します。「【２日目】等速度直線運動」における、「時刻」「位置」「速度」の関係と同様、式変形により物理的な意味が変わります。

上式は、速度 a_0 と a_1 との関係式ですが、任意の時刻 t、すなわち加速度 a_n と a_{n-1} との関係でも成り立ちます。

つまり「時刻 t_{n-1} のときの加速度 a_{n-1} と加加速度 j が与えられていれば、Δt 秒後の加速度 a_n が得られる」ことを意味します。更にこれを発展させて、加加速度 j[m/s^2] が一定値のまま（等加加速度）であるならば、任意の時刻 t_n での加速度 a_n は、a_0 からスタートして、a_1, a_2 ... a_nと逐次計算することで求めることができます。

このようにして、a_0, a_1, a_2, ... と逐次計算した結果と「【1-2-1】等加速度直線運動のアルゴリズムの導出」の関係式を用いて、球の位置 x[m] を決定します。

上記関係式で計算される球の位置を連続的に描画することで、等加速度直線運動のアニメーションが得られるのです。

３次元の場合も同様に、加加速度 j[m/s^3] は加加速度ベクトルという物理量で定義することができます。

物理量３「加速度」（3次元）：加速度ベクトル

３次元の場合は、x 成分の他にy成分とz成分がそれぞれ同様に成り立ちます。

「a」は【1-2-1】等加速度直線運動のアルゴリズムの導出で登場した速度ベクトルです。