異なる媒質の境界における電磁波と電子波
【2-1】異なる媒質の境界における波動の一般論

第１章では均一媒質中の波の伝搬についての定式化を行い、媒質中の電磁波と電子波の性質は、光（電磁波）に対しては誘電率と透磁率、電子波に対してはポテンシャルという物質定数で与えられることを示しました。さらに、異なる波数ベクトルをもつ波を重ね合わせることによって様々な形状の波を作ることができることを示し、時間発展を計算しました。 次に本章では、下図のような異なる２種類の媒質が接している場合を考えます。

第１章と同様、はじめ平面波について定式化を行い、その後、平面波の重ね合わせで表現できる様々な形状の波の境界面での振る舞いについて考えます。電磁波と電子波による平面波はマクスウェル方程式とシュレディンガー方程式からそれぞれ

(2-1-1)

で与えられ、は波数と角振動数の関係である分散関係は

(2-1-2)

で与えられます。ただし、屈折率はで定義されます。 異なる媒質間の境界における振る舞いを調べるために、 上図ののように、を 平面上において２種類の媒質中を右に進行する波と左に進行する波の波数ベクトルを定義します。 は、軸とのなす角を表しています。 波数ベクトルはを用いて、

(2-1-3)

と表すことができます。各パラメタの関係は、次節以降でマクスウェル方程式とシュレディンガー方程式からそれぞれ導出します。 本節では電磁波と電子波に関する共通部分の導出までの流れと結果だけを示します。

ポイント１：角振動数が不変

任意の時刻において境界面で連続となるためには、各媒質中での振動数が一致する必要があります。 つまり、

(2-1-4)

となります。もし式(4)が成り立たっていなければ、例えで連続条件を満たしていいたとしても、角振動数が異なるため時間と共に接続面で振幅がずれてしまうことになります。 この条件は直感的には自明ですが、境界面での接続条件として非常に重要です。

ポイント２：媒質中の波数は、物質定数だけで決まる

式(4)で与えられた角振動数が不変という条件は、式(2)とあわせて波数ベクトルの大きさに対する条件

(2-1-5)

を導きます。波数ベクトルの大きさの関係は、電磁波に対しては物質定数の比で、電子波に対して物質定数の差だけで与えられます。 これは任意の媒質間で成り立つため、真空と媒質との境界面を考えた場合 真空中の波数をとして

(2-1-6)

を満たします。ただし、真空中の物質定数は、です。 物質定数の比、あるいは差だけで媒質中の波数ベクトルの大きさが決まるという認識は重要で、 任意の媒質中の電磁波・電子波の波数ベクトルの大きさは、電磁波・電子波はこれまでにどのような媒質を伝搬してきたかに依存しないということを意味します。 つまり、任意の媒質中における波数は、真空中の波数ベクトルだけで表すことができるということです。

ポイント３：スネルの法則の本質は境界面上における波の連続性

ポイント１は、境界面における振幅の時間的連続性から導かれています。 同様に境界面における振幅の空間的連続性からも条件式を導くことができます。 それは、境界面における振幅の波数ベクトルの並行成分が一致するということです。 式で表すと

(2-1-7)

となります。この条件から同時に入射角と反射角の関係

(2-1-8)

も導かれます。式(7),(8)の関係式は電磁波でも電子波でも成り立ちます。 この式(8)に式(6)を代入すると、 異なる媒質の境界面における光の屈折現象に対する入射角と透過角との関係を表すスネルの法則

(2-1-9)

が導かれます。つまり、スネルの法則は境界面上における電磁波の空間的連続性から導かれた法則ということになります。 本稿では波動現象全般の一般的な性質である式(7)をスネルの法則と呼ぶことにします。

次節では境界面上における接続条件を導出し、反射率、透過率を定義します。

【目次】シュレディンガー方程式とマクスウェル方程式

• ０．導入
  　【0-1】はじめに
  　【0-2】本稿で取り扱う基礎方程式
• １．一様媒質中における一般解と具体例
  　【1-1】一般解の表式
  　【1-2】平面波の時間発展
  　【1-3】１軸ガウシアンによる光パルスと電子パルス　（１軸ガウシアンによる電子パルスの拡散）
  　【1-4】２軸ガウシアンによる光パルスと電子パルス　（２軸ガウシアンによる電子パルスの拡散, ２軸ガウシアンによる光パルスの拡散）
  　【1-5】３軸ガウシアンによる光パルスと電子パルス
  　【1-6】垂直１軸ガウシアンによる光ビームと電子ビーム
  　【1-7】垂直２軸ガウシアンによる光ビームと電子ビーム
  　【1-8】直線偏光と円偏光
  
• ２．異なる媒質の境界における電磁波と電子波
  　【2-1】異なる媒質の境界における波動の一般論
  　【2-2】電磁波に対する透過係数と反射係数の導出
  　【2-3】電子波に対する透過係数と反射係数の導出
  　【2-4】境界面において任意の形状の波に対して時間発展を与える一般表式
  　【2-5】境界面における平面波電磁波の時間発展
  　【2-6】境界面における平面波電子波の時間発展
  　【2-7】境界面における１軸ガウシアンによる光パルスと電子パルスの時間発展
  　【2-8】境界面における２軸ガウシアンによる光パルスと電子パルスの時間発展
  　【2-9】境界面における３軸ガウシアンによる光パルスと電子パルスの時間発展
  　【2-10】境界面における垂直１軸ガウシアンによる光ビームと電子ビームの時間発展
  　【2-11】境界面における垂直２軸ガウシアンによる光ビームと電子ビームの時間発展
  
• ３．転送行列法
  　・電子のトンネル確率
  　・光のトンネル効果
  
• ４．１層バリアにおける光パルスと電子パルスのシミュレーション
• ５・ポテンシャル障壁による量子粒子のトンネル時間
• ６・フォトニックバンドギャップによる光パルスのトンネル時間
• ７．無限周期構造中の分散関係，群速度，位相速度
  　・転送行列とブロッホの定理
  　・ブロッホ波数と透過係数の関係
  　・分散関係
  　・透過係数と群速度の関係
  
• ８．有限サイズの結晶における光パルスと電子パルスの横断時間
  　・光パルスと電子パルスの横断時間の導出
  　・パルス伝搬速度と群速度の関係
  
• ９．フォトニックバンド端における光パルスの遅延
  　・１次元フォトニック結晶における透過係数と横断時間の数値計算
  　・横断時間の解析解
  
• １０．バンド端における電子パルスの遅延
  　・１次元クローニッヒ・ペニーモデルにおける透過係数と横断時間の数値計算
  　・横断時間の解析解
  
• １１．非周期構造における光パルスと電子パルスと伝搬