【物理シミュレーションに挑戦！】古典力学
様々な力による物理シミュレーション７：任意の剛体棒で結合された結合力

文責：遠藤理平（2016年10月19日）カテゴリ：仮想物理実験室(325)｜計算物理学(165)

前項では剛体棒で結合された２個の剛体球の運動をシミュレーションする計算アルゴリズムを示しました。本項では、任意のペアーの結合に対する計算アルゴリズムを導出します。

２つ以上の剛体球が剛体棒で結合されている場合の結合力も前項と同様の手続きで導出することができます。n番目の剛体球に加えられるk番目からの結合力を $\mathbf{f}_{nk}$ と表した場合、n番目の剛体球の運動方程式は

$M_n\frac{d^2\mathbf{R}_n}{dt^2} = \sum\limits_{k} \mathbf{f}_{nk}+\mathbf{F}_n$

で与えられます。 $\mathbf{F}_n$ はn番目の剛体球に加わる外力です。もし、n番目とm番目の剛体球が結合されている場合、前項で導出した条件式

$(\mathbf{a}_n-\mathbf{a}_m)\cdot (\mathbf{R}_n-\mathbf{R}_m) + |\mathbf{v}_n-\mathbf{v}_m|^2=0$

を課すことで結合力を導出することができます。 n番目とm番目の運動方程式の片々を引き算すると

$(\mathbf{a}_n- \mathbf{a}_m)\cdot( \mathbf{R}_{n} - \mathbf{R}_{m} ) =$ $\left\{\sum\limits_{k} \left[ \frac{ \mathbf{f}_{nk}}{M_n} - \frac{\mathbf{f}_{mk}}{M_m} \right] + \left[ \frac{\mathbf{F}_n}{M_n} -\frac{\mathbf{F}_m}{M_m} \right] \right\}$ $\cdot( \mathbf{R}_{n} - \mathbf{R}_{m} )$

となります。この左辺は

左辺

$=-|\mathbf{v}_n-\mathbf{v}_m|^2$

となり、右辺は整理すると

右辺

$=\sum\limits_{k} \left[ \frac{ L_{nm}\hat{\mathbf{n}}_{nk} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{nm} }{M_n} f_{nk} - \frac{L_{nm}\hat{\mathbf{n}}_{mk} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{nm} }{M_m} f_{mk} \right]$
$+ \left[ \frac{\mathbf{F}_n}{M_n} -\frac{\mathbf{F}_m}{M_m} \right] \cdot( \mathbf{R}_{n} - \mathbf{R}_{m} )$

となり、

$-|\mathbf{v}_n-\mathbf{v}_m|^2-\left[ \frac{\mathbf{F}_n}{M_n} -\frac{\mathbf{F}_m}{M_m} \right] \cdot( \mathbf{R}_{n} - \mathbf{R}_{m} )$
$=\sum\limits_{k} \left[ \frac{ L_{nm}\hat{\mathbf{n}}_{nk} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{nm} }{M_n} f_{nk} - \frac{L_{nm}\hat{\mathbf{n}}_{mk} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{nm} }{M_m} f_{mk} \right]$

が得られます。後は $f_{nm}$ に関する連立方程式を数値的に解くことで、各剛体球に加わる結合力が与えられます。

連立方程式の解法は「HTML5による物理シミュレーション　【剛体編】」を参照下さい。

結合された剛体球の運動をシミュレーション

剛体棒で結合された４つの剛体球のシミュレーションです。計算開始前に「固定」チェックボックスをチェックすることで、該当剛体球を固定することができます。

一つの剛体球に複数の結合が存在する場合にも対応することができます。カオティックな運動をシミュレーションすることができます。

物理シミュレーションについては「HTML5による物理シミュレーション」を参照ください。数式の表示は「Tex表記によるHTML文書への式の埋め込み」をご覧ください。

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