【物理シミュレーションに挑戦！】古典力学
斜面を転がる剛体球運動の計算アルゴリズム19：任意の経路に拘束された剛体球の運動

文責：遠藤理平（2016年11月 3日）カテゴリ：仮想物理実験室(325)｜計算物理学(165)

最近はもはや斜面を転がってませんが本シリーズを続けていきます。本項はタイトルのとおり、任意の経路に拘束された剛体球の運動についてです。

電車が線路の上を走行するように、剛体球が任意の経路上を運動する場合を考えます。この場合、剛体球には運動が経路上に留まるように拘束力が働きます。この拘束力は経路の形状だけでなく、その時の速度にも依存し、さらには外部から剛体球に加わる外場にも依存します。媒介変数で表した任意の経路上を運動する剛体球に加わる拘束力の一般的な導出は拙著「HTML5による物理シミュレーション【剛体編２】」で示しました。本項では、計算アルゴリズムの紹介を行います。まず、経路の特徴を表す３つのベクトル量を列挙します（9.2節「経路の解析的取り扱い」を参照）。その後に拘束力の表式を示します。

（１）経路の位置ベクトルを媒介変数で表す

経路の絶対座標における位置を $\mathbf{r}_{\rm path}$ として、経路を媒介変数表示で表します。

$\mathbf{r}_{\rm path} (l) = \mathbf{r}_{\rm path} (\theta)=(x(\theta),y(\theta),z(\theta))$

ただし、はパスの始点からの距離、 $\theta$ は任意の媒介変数です。

（２）経路の接線ベクトルを媒介変数で表す

経路の任意の地点 $\mathbf{r}_{\rm path}(l)$ の接線ベクトル $\mathbf{t}_{\rm path} (l)$ を導出します。

$\mathbf{t}_{\rm path} (l) = \frac{ d \mathbf{r}_{\rm path} (l) }{dl} = \frac{d\theta}{dl} \,\frac{ d \mathbf{r}_{\rm path}(\theta) }{d\theta}$

ただし、係数の $d\theta/dl$ は以下のとおり与えられます。

$\frac{d\theta }{d l} = \frac{1}{\sqrt{ \left(\frac{d x}{d \theta}\right)^2+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^2+\left(\frac{d z}{d \theta}\right)^2}}$

（３）経路の曲率ベクトルを媒介変数で表す

経路の任意の地点 $\mathbf{r}_{\rm path}(l)$ の曲率ベクトル $\mathbf{\chi} (l)$ を導出します。

$\mathbf{\chi} (l) = \frac{ d \mathbf{t}_{\rm path} (l) }{dl}$ $= \frac{d^2\theta}{dl^2} \,\frac{ d \mathbf{r}_{\rm path}(\theta) }{d\theta} + \left(\frac{d\theta}{dl} \right)^2\frac{ d^2 \mathbf{r}_{\rm path}(\theta) }{d\theta^2}$

ただし、係数の $d^2\theta/d l^2$ は

$\frac{d^2\theta }{d l^2} = \left(\frac{ d\mathbf{r}_{\rm path}(\theta) }{d\theta}\right)\cdot\left(\frac{ d^2\mathbf{r}_{\rm path}(\theta)}{d\theta^2}\right)$ $/\left|\frac{ d\mathbf{r}_{\rm path}(\theta) }{d\theta}\right|^4$

（４）経路拘束力の表式

導出は省きますが、経路に留めるための拘束力（経路拘束力）の表式は次のとおりです（9.3節「任意の経路に拘束された運動の計算アルゴリズム」を参照）。

$\mathbf{S} (t) =m\left[ \mathbf{a}_0(t)+ \frac{d^2 l}{dt^2}\, \mathbf{t}_{\rm path} (l)+ \left(\frac{d l}{dt}\right)^2 \mathbf{\chi } (l) \right]-\mathbf{F} (t)$

ただし、 $\mathbf{F} (t)$ は重力などの外場、 $\mathbf{a}_0(t)$ は経路そのものが移動する場合の加速度速度ベクトルです。２つの係数 d l /dt と d^2 l / dt^2 は次のとおりです。

$\frac{dl}{dt} = (\mathbf{v} (t) - \mathbf{v}_0(t))\cdot \mathbf{t}_{\rm path} (l)$
$\frac{d^2 l}{dt^2} = \frac{1}{m} \left[\mathbf{F} (t)\cdot\mathbf{t}_{\rm path} (l) \right] - \mathbf{a}_0(t)\cdot\mathbf{t}_{\rm path} (l)$

$\mathbf{v}_0(t)$ は経路そのものが移動する場合の速度ベクトルです。

経路の接線ベクトル、曲率ベクトルと経路そのものの運動が与えられていて、剛体球に加わる外力と速度ベクトルが得られていれば、その時点における経路拘束力が得られます。あとはニュートンの運動方程式に従って運動を計算するだけとなります。

円形経路に拘束された剛体球

次のグラフィックスは、円形経路に拘束された剛体球が重力で運動するシミュレーションです。重力加速度などのパラメータを変更すると対応した運動を行います。

放物線経路に拘束された剛体球

次のグラフィックスは、放物線経路に拘束された剛体球が重力で運動するシミュレーションです。重力加速度などのパラメータを変更すると対応した運動を行います。

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（１）経路の位置ベクトルを媒介変数で表す

（２）経路の接線ベクトルを媒介変数で表す

（３）経路の曲率ベクトルを媒介変数で表す

（４）経路拘束力の表式

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