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マクスウェル－ボルツマン速度分布

文責：遠藤 理平 （2017年4月 1日） カテゴリ：計算物理学(165)

粒子同士の相互作用の無い理想気体を構成する粒子の速度分布は、マクスウェル－ボルツマン速度分布に従います。１個の粒子の速度の大きさがvからv+dvまでとなる確率を f(v)dvと表した場合、f(v)は

f(v) = 4\pi v^2 \left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}

という確率密度関数で表されます。 k_Bはボルツマン定数（ 1.380658\times10^{-23}[{\rm J/K}]）、mは質量[kg]、Tは絶対温度[K]です。

図１はT=300[{\rm K}]、質量の異なる粒子 m=4m_n\sim40m_n （m_nは中性子の質量 1.6749286\times10^{-27}[{\rm kg}] ）に対するマクスウェル－ボルツマン速度分布です。横軸は速度[m/s]、縦軸はf(v)です。質量が大きいほど速度分布のピークが低速に移りかつピークが鋭くなっていきます。

図１：速度分布の質量依存性

図２は m=12m_n、 T=100[K]\sim1000[K]に対するマクスウェル－ボルツマン速度分布です。横軸は速度[m/s]、縦軸はf(v)です。温度が大きいほど速度分布のピークが高速に移りかつピークが鈍くなっていきます。

図２：速度分布の温度依存性

マクスウェル－ボルツマン速度分布は質量や温度に依存しますが、速度を無次元化することで系のパラメータに依存しない速度分布を得ることができます。具体的には無次元化速度を

\bar{v} \equiv \sqrt{\frac{2k_BT}{ m }} v

と定義すると、無次元化したマクスウェル－ボルツマン速度分布は

f( \bar{v} )d\bar{v} = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\, \bar{v}^2 e^{-\bar{v}^2}\,d\bar{v}

となります。図３は無次元化したマクスウェル－ボルツマン速度分布です。 \var{v}=1、で最大値 f(1)=0.83となります。

図３：無次元化したマクスウェル－ボルツマン速度分布


参考図書

・three.jsによるHTML5グラフィックス上　【改定版】
・three.jsによるHTML5グラフィックス下　【改定版】
・three.jsによるHTML5 3Dグラフィックス 【新機能と応用】



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